(۳-۶۵)
بطوریکه
(۳-۶۶)
مقادیر ثابت …وE₃ ، E₁ و…وF₃ ، F₁ از معادلات فوق با روش‌های تقریب پی در پی قابل محاسبه است. بدلیل پیچیدگی در محاسبه E و F ، به بررسی صفحه مربعی می‌پردازیم. در صفحه مربعی توزیع گشتاورهای خمشی در طول تمام لبه ها یکسان است. لذا E_i=F_i می‌شود و معادلات بالا با هم مساوی می‌شوند. داریم:
(۳-۶۷)
با جاگذاری مقادیر عددی ضرایب در این معادلات و در نظر گرفتن چهار ضریب اول، معادلات زیر برای ۴ مجهول E₁ ، E₃ ،E₅ و E₇ بدست می‌آید:

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

(۳-۶۸)
بطوریکه
K=-4Pa²/π^۳ (۳-۶۹)
همانطور که از معادلات پیداست جمله هایی که بصورت قطری قرار گرفتند، ضرایب بالاتری دارند. تقریب اولیه برای مقادیر ثابت E₁,…, E₇ با در نظر گرفتن مقادیر در سمت چپ خط مشکی بدست می‌آید. بدین صورت که از معادله اول ۰.۳۷۰۰K E₁= بدست می‌آید. با جاگذاری آن در معادله دوم، E₃=-0.0395K بدست می‌آید. با جاگذاری E₁ و E₃ در معادله سوم، E₅=-0.0180K بدست می‌آید و از معادله آخر مقدار E₇=-0.0083K بدست می‌آید. باجاگذاری مقادیر بدست آمده در سمت راست خط مشکی معادلات، دومین تقریب از E₁,…, E₇ بدست می‌آید. در تقریب دوم مقادیر مجهولات به این صورت در می آیند.
E1=0.3722 ,E3=-0.0380 ,E5= -0.0178 ,E7= -0.0085
با تکرار این عمل می‌توان تقریب سوم و تقریب های بعدی را انجام داد. با جاگذاری مقادیر بدست آمده از ضرایب E₁,…, E₇ ، در معادله ۳-۵۶، گشتاور خمشی در طول لبه های clamped بدست می‌آید. قدرمطلق ماکزیمم مقدار این گشتاورها در وسط یک طرف مربع قرار گرفته است. با بهره گرفتن از چهار معادله فوق، مقدار گشتاور بصورت زیر در می‌آید:
(۳-۷۰)
با جاگذاری مقادیر E₁,…, E₇ در معادله ۳-۵۷، میزان جابجایی صفحه که توسط گشتاورهای توزیع شده در طول لبه های x=±a/2 وy=±b/2 بدست می‌آید مشخص می‌شود.
در مرکز صفحه ( x=y=0 ) مقدار این جابجایی به ماکزیمم مقدار خود می رسد و از رابطه زیر بدست می‌آید.
(۳-۷۱)
جهت بدست آوردن جابجایی کل در مرکز صفحه، مقدار بدست آمده از معادله (۳-۷۱) با میزان جابجایی صفحه مربعی simply supported جمع می‌شود و جواب نهایی برای میزان جابجایی صفحه نازک clamped با فشار یکنواخت در مرکز دیافراگم بدست می‌آید. این مقدار معادل ماکزیمم جابجایی صفحه می‌باشد:
(۳-۷۲)
نتیجه محاسبه ریاضی جابجایی در شکل ۳-۱۳ بصورت سه بعدی (تحت شرایط مشابه با صفحه با لبه های simply supported ) نشان داده شده است. در این شکل نیز بیشترین جابجایی در مرکز صفحه اتفاق می افتد.
شکل ۳-۱۳ جابجایی صفحه با شرایط مرزی مشخص شده در شکل ۳-۱۱
محاسبات مشابه برای یک صفحه مستطیلی با هر نسبتی که بین ابعاد آن وجود دارد، قابل انجام است. توضیحات بیشتر در مرجع [۳۷] آمده است.
۳-۶ محاسبه ظرفیت خازنی سنسور فشار خازنی
همانطور که قبلا نیز گفته شد محاسبه ظرفیت خازنی در صورتیکه یکی از الکترودها در اثر نیروی خارجی جابجا شود، دیگر از فرمول (۳-۱۴) تبعیت نمی‌کند. در این حالت از فرمول (۳-۱۵) جهت محاسبه ظرفیت خازنی استفاده می‌شود. برای محاسبه ظرفیت خازنی لازم است ابتدا جابجایی دیافراگم محاسبه گردد. به دلیل پیچیدگی این فرمول، از نرم افزار ریاضی میپل برای محاسبه میزان جابجایی دیافراگم در اثر اعمال فشار یکنواخت، w(x,y) ، و محاسبه ظرفیت خازنی، C، استفاده شده است. در فصل ۴ نتایج ریاضی و شبیه سازی ظرفیت خازنی با هم مقایسه می‌گردد. لازم به ذکر است که محاسبات فوق برای ماده با استرس صفر صادق است.
۳-۷ آنالیز المان محدود
به منظور بهینه سازی طراحی از روش آنالیز المان محدود برای شبیه سازی دیافراگم مربعی سنسور فشار استفاده شده است. اهداف آنالیز، بررسی جابجایی و حساسیت مکانیکی دیافراگم در اثر نیروی الکترواستاتیکی بین دیافراگم و صفحه الکترود و اعمال نیروی مکانیکی و بررسی ظرفیت خازنی بین دیافراگم و صفحه الکترود است.
۳-۷-۱ دیافراگم مربعی چهار طرف ثابت
دیافراگم مربعی دارای ابعاد μm550μm × ۵۵۰ و ضخامت μm 4 و شکاف هوایی μm 5/1 می‌باشد. دیافراگم از ۴ طرف محکم شده است. ولتاژ DC به دو سر دیافراگم و صفحه پایینی اعمال می‌شود. این ولتاژ را تا جایی می‌توان اضافه کرد که نیروی الکترواستاتیکی ناشی از این ولتاژ، منجر به پایین آمدن ناگهانی دیافراگم بر روی صفحه پایینی نشود. شکل ۳-۱۴ شماتیک شبیه سازی شده خازن MEMS را نشان می‌دهد. دیافراگم در چهار طرف ثابت شده است.
شکل ۳-۱۴ ساختار شبیه سازی شده سنسور فشار خازنی
۳-۷-۲ دیافراگم مربعی شیاردار
جهت افزایش حساسیت مکانیکی و کاهش سختی دیافراگم، تعداد هشت شیار در دیافراگم ایجاد می‌کنیم. این شیار ها بصورت متقارن در اطراف دیافرگم قرار گرفته اند. شکل ۳-۱۵ مقطع بالایی و مقطع عرضی سنسور فشار خازنی را نشان می‌دهد. اندازه شیار های ایجاد شده در شکل ۳-۱۵ مشخص شده است. دیافراگم مدل شده از جنس p++si دارای طول دیافراگم μm550μm × ۵۵۰ و ضخامت μm 4 و اندازه شکاف هوایی μm 5/1 می‌باشد و دارای مدول یانگ GPa160 و ضریب پواسن ۰۵/۰ است[۳۸]. شکل ۳-۱۶ شمای شبیه سازی شده خازن ممزی شیار دار را نشان می‌دهد. دیافراگم از دوازده طرف محکم شده است. سنسور فشار با دیافراگم p++si برای هر دو نوع ساختار clamped و شیاردار، از یک بستر از جنس شیشه پیرکس ، الکترود زیرین از جنس طلا تشکیل شده است. با ایجاد ۸ شیار در اطراف دیافراگم، حساسیت سنسور فشار خازنی را افزایش می‌دهیم.

(a)

(b)
شکل ۳-۱۵ سنسور فشار خازنی شیاردار a) مقطع بالایی دیافراگم سنسور فشار b) مقطع عرضی سنسور فشار
شکل ۳-۱۶ ساختار شبیه سازی شده سنسور فشار خازنی شیاردار
فصل چهارم: نتایج شبیه سازی
مقدمه
پس از بررسی روابط ریاضی سنسور فشار خازنی، به بررسی نتایج حاصل از شبیه سازی سنسور فشار می‌پردازیم. مقایسه نتایج ریاضی و نتایج شبیه ساز، تاییدی بر روابط ریاضی و عملکرد صحیح شبیه ساز می‌باشد. در این فصل به بررسی عوامل موثر بر رفتار دیافراگم برای سنسور فشار خازنی چشم می‌پردازیم. سپس عملکرد ساختار خازنی سنسور فشار مورد بررسی قرار می‌گیرد و در پایان نمونه های پیشنهادی با یکدیکر مقایسه می‌شود.
۴-۱ شبیه سازی دیافراگم
حساسیت دیافراگم نسبت به فشار داخلی چشم، شدیدا به استرس دیافراگم وابسته است. میزان استرس دیافراگم به چگونگی مراحل ساخت آن بستگی دارد. در این پروژه آنالیز ریاضی با بهره گرفتن از نرم افزار مطلب و آنالیز المان محدود با بکارگیری شبیه ساز ممزی Intellisuite صورت گرفته است تا تحلیل درستی از رفتار دیافراگم و عملکرد آن بدست آوریم.
۴-۱-۱ نتایج ریاضی
ابتدا نتایج حاصل از آنالیز ریاضی برای دیافراگم مسطح را بررسی می کنیم. دیافراگم مدل شده از جنس p++si با استرس Mpa 40 دارای طول دیافراگم μm550μm × ۵۵۰ و ضخامت μm 4 می‌باشد. مدول یانگ و ضریب پواسن آن به ترتیب GPa160 و ۰۵/۰ است.
۴-۱-۲ اثر استرس دیافراگم
استرس عامل مهم در مدل سازی و شبیه سازی دیافراگم می‌باشد. شکل ۴-۱ منحنی جابجایی بر حسب فشار به ازای استرس های مختلف دیافراگم بر اساس معادله (۳-۱۱) را نشان می‌دهد. هرچه استرس بیشتر شود، جابجایی مرکز دیافراگم تحت بار مشابه، کمتر می‌شود. از شکل ۴-۱ می‌توان دریافت، در رنج فشار اعمال شده (۰ تا mmHg 60)، جابجایی مرکز دیافراگم به صورت خطی با فشار تغییر می‌یابد.

شکل ۴-۱ منحنی جابجایی برحسب فشار به ازای استرس های ۰، MPa 40، MPa 100
۴-۱-۳ اثر اندازه دیافراگم
شکل ۴-۲ اثر اندازه دیافراگم را بر روی عملکرد دیافراگم مربعی طبق معادله (۳-۱۱) نشان می‌دهد. هر چه اندازه دیافراگم بیشتر شود، جابجایی مرکز دیافراگم تحت بار مشابه بیشتر می‌شود. به عبارت دیگر با افزایش اندازه دیافراگم، سختی دیافراگم کمتر شده و در اثر اعمال فشار خارجی، دیافراگم بیشتر جابجا می‌شود.