(۴-۱۲)
E[ρ] = Ts[ρ] + Vext[ρ] + VH[ρ] + EXC[ρ]
که انرژی تبادلی- همبستگی را به صورت زیر تعریف نماییم:
(۴-۱۳)
EXC[ρ] = (T[ρ] - Ts[ρ]) + (Vee[ρ] - VH[ρ])
انرژی تبادلی-همبستگی خطای ناشی از به کار بردن سیستم غیر برهمکنشی در محاسبه انرژی جنبشی و همچنین در نظر گرفتن پتانسیل کولنی و عدم محاسبه دقیق برهم کنش الکترون- الکترون است.
با نوشتن تابعی انرژی بر حسب چگالی به دست آمده بر اساس سیستم غیر برهمکنشی و اعمال تئوری تغییرات، در می‌یابیم که اوربیتال‌هایی که انرژی را کمینه می‌کنند، در معادله زیر صدق می‌کنند.
(۴-۱۴)
که در آن پتانسیل تبادلی-همبستگی وجود دارد که مشتق تابعی انرژی تبادلی همبستگی نسبت به چگالی است.
(۴-۱۵)
vXC® =
این دسته معادلات غیر خطی توصیف کننده رفتار الکترون‌های غیربرهم‌کنشی در یک پتانسیل محلی موثر می‌باشد. اگر تابعی انرژی دقیق باشد نتیجه آن داشتن پتانسیل محلی دقیق و در نتیجه چگالی و انرژی حالت پایه دقیق است.
برای بدست آوردن نزدیک ترین مقدار انرژی به مقدار واقعی, با حدس اولیه ای برای مقدار v که با توجه به وابستگی آن به چگالی همانn® می باشد شروع می کنیم و مطابق با شکل (۴-۶) به محاسبه انرژی می پردازیم. آنگاه از انرژی بدست آمده استفاده کرده مقدار جدید n® را با مقدار اولیه مقایسه می کنیم. در صورتی که تفاوت بین این دو از ضریب همگرایی که مد نظر است کمتر نباشد مراحل قبلی با n® جدید تکرار می شود و این روش تا زمانی ادامه پیدا می کند که مقدار n® همگرا شود.
( اینجا فقط تکه ای از متن پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )
شکل (۴-۷) الگوریتم تکرار محاسبات DFT تا مرحله همگرایی و محاسبه دقیق انرژی
برای محاسبه پتانسیل تبادلی- همبستگی تقریب های متعددی معرفی شده است که تقریب چگالی موضعی (LDA) پایه تمام تقریب ها با این هدف است
۴-۱-۵ تقریب چگالی موضعی(LDA)[29]
تفکر اولیه که منجر به انجام عملی نظریه تابعی چگالی شد، به وسیله یک سیستم خاص که نتایج آن تقریبا دقیق به دست آمد شکل گرفت. این سیستم خاص گاز الکترونی همگن است. در این سیستم الکترون‌ها تحت یک پتانسیل خارجی ثابت هستند و در نتیجه چگالی بار ثابت است. بنابراین این سیستم را می‌توان تنها توسط چگالی آن=N/Vρ توصیف نمود. توماس و فرمی گاز الکترونی همگن را در اوایل سال ۱۹۲۰ مطالعه نمودند. اگر برهم کنش الکترون- الکترون توسط روش‌کلاسیکی هاتری محاسبه شود و از بخش تبادلی همبستگی صرف نظر شود، انرژی کل به‌آسانی محاسبه می‌شود.
در چنین شرایطی وابستگی انرژی جنبشی و تبادلی به چگالی گاز الکترونی به صورت توابع موضعی از چگالی قابل استخراج است. در اینجا این پیشنهاد به ذهن می‌رسد که در سیستم‌های همگن تابعی را می‌توان با انتگرال روی توابع محلی چگالی بار تقریب زد. به کارگیری چگالی انرژی جنبشی و تبادلی گاز الکترونی همگن غیر برهمکنشی منجر به روابط زیر می‌شود.
(۴-۱۶)
T[ρ] = ۲.۸۷
